Владельцам ноутбуков очень не рекомендую пользоваться спящим режимом. Видеокарты этого не любят и "приказывают долго жить"... Не все, конечно, но прецедентов не мало. Заменить видеокарту в ноутбуке, особенно, если она интегрирована, задача не лёгкая. Т.е. выключать лучше - через "пуск"(мой стаж работы в ИТ - более 20 лет).
И, да, конечно, скорость доступа к страницам интернет никак не связана с АКБ. Общее быстродействие системы - может, по причине не верного напряжения на выходе АКБ. Только сервисная служба может определить, исправно ли оборудование, если да, имеет смысл, как советовали выше переустановить операционную систему (Windows or Linux), только не "наверх", а с предварительной зачисткой системного диска (удалением разделов и т.д.). Всё это вряд ли интересно пользователю, а тот, кто будет делать и сам знает
.