Лариса, ну сначала поздравления с цветением
Каттлеи далеко не у всех цветут. Это какая-то брассолелиокаттлея, нет? Цвела из чехлов, или бутоны сразу из пазухи?
Палок и правда уже достаточно много, можно смело делить. Только не мельчить, на много частей не надо, а то цветения еще много лет ждать. Лучше отделить от этой каттлеи безлистые старые бульбы, но с прицепом и одного-двух молодых. Из одного растения сделать два.
Наличие массы бульб, конечно, влияет. Растение из них берет питание для новых ростов, которые только и будут цвести. Старые "палки" уже не расцветут, но чтоб цвели новые, без них не обойтись..
И возвращаясь к поливу, каюсь, поздно прочел. У меня в посте ключевыми были слова "пока растут"... Не делаем просушек, пока растут новые розетки, новые росты... Ну а для цветения и каттлей, и башмаков многих просушки, или правильнее сказать, ограничения в поливе, часто в комплексе со снижением температуры, просто необходимы, иначе цветения не увидим никогда.